📘 Zondel Study — Aljabar Linear

📌 Minggu 2: Matriks & Eliminasi Gauss

Mengubah SPL menjadi Bentuk Matriks

Setiap SPL bisa ditulis dalam bentuk AX = B, di mana:

• A = matriks koefisien (angka di depan variabel)
• X = matriks variabel (x, y, z, dst)
• B = matriks konstanta (angka di sebelah kanan)

Contoh:

Matriks Diperbesar (Augmented Matrix)

Gabungan matriks A dan B dalam satu matriks, dipisahkan garis:

Metode Eliminasi Gauss

Langkah-langkahnya:

1. Tulis SPL dalam bentuk matriks diperbesar
2. Gunakan operasi baris untuk mengubah matriks menjadi bentuk segitiga (eselon baris)
3. Selesaikan dari baris paling bawah ke atas (substitusi balik)

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1

Selesaikan SPL berikut dengan metode eliminasi Gauss:

Soal 2

Selesaikan SPL berikut:

Soal 3

Apakah SPL berikut punya solusi?

📌 Minggu 3: Operasi Baris Elementer (OBE)

Apa itu OBE?

OBE (Operasi Baris Elementer) adalah 3 cara yang boleh dilakukan pada baris-baris matriks untuk menyelesaikan SPL:

Bentuk Eselon Baris

Setelah melakukan OBE, kita ingin mendapatkan bentuk yang rapi:

• Semua baris yang isinya nol semua, diletakkan di bawah
• Angka pertama yang bukan nol di setiap baris (disebut pivot) harus berada di kolom yang lebih kanan dari baris di atasnya

Contoh bentuk eselon baris:

Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF)

Bentuk paling rapi, di mana:

• Semua pivot bernilai 1
• Di atas dan di bawah pivot semuanya 0

Kalau sudah bentuk ini, solusinya langsung bisa dibaca!

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1

Selesaikan dengan metode Gauss-Jordan:

Soal 2

Selesaikan SPL berikut:

Soal 3 (contoh solusi tak hingga)

Tentukan solusi SPL:

📌 Minggu 4: Aljabar Matriks — Operasi Matriks

Apa itu Matriks?

Matriks adalah susunan bilangan dalam baris dan kolom.

• Ordo/ukuran: m × n (m = jumlah baris, n = jumlah kolom)
• a₁₁ = elemen pada baris 1, kolom 1
• Matriks persegi: jumlah baris = jumlah kolom

Operasi Matriks

1. Penjumlahan & Pengurangan

Hanya bisa jika ukurannya sama. Jumlahkan elemen yang seletak.

2. Perkalian dengan Angka (Skalar)

Kalikan setiap elemen dengan angka tersebut.

3. Perkalian Matriks

Rumus: Elemen baris i kolom j = jumlah dari (elemen baris i A × elemen kolom j B)

Contoh:

4. Transpos Matriks (Aᵀ)

Membalik matriks: baris jadi kolom, kolom jadi baris.

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1

Diketahui \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\) dan \(B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\). Hitung A+B, A-B, 2A, dan AB.

Soal 2

Diketahui \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) (2×2) dan \(B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}\) (2×3). Hitung AB.

Soal 3

Tentukan transpos dari \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\).

Soal 4

Jika \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) dan \(B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\), hitung AB dan BA. Apakah sama?

📌 Minggu 5: Invers Matriks

Apa itu Invers Matriks?

Invers matriks A (ditulis A⁻¹) adalah matriks yang jika dikalikan dengan A, hasilnya adalah matriks identitas (I):

Matriks identitas adalah matriks yang diagonal utamanya 1 dan sisanya 0:

Sifat-sifat Invers

• \((A^{-1})^{-1} = A\) (invers dari invers = matriks aslinya)
• \((AB)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\) (urutan dibalik!)
• \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)
• Matriks yang tidak punya invers disebut singular (determinannya = 0)

Rumus Invers Matriks 2×2

Untuk matriks \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\):

Cara Mudah Mengingat Rumus Invers 2×2

1. Hitung determinan: (atas kiri × bawah kanan) - (atas kanan × bawah kiri)
2. Tukar posisi a dan d (diagonal utama)
3. Beri tanda minus pada b dan c (diagonal kedua)
4. Bagi semuanya dengan determinan

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1

Tentukan invers dari \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\).

Soal 2

Tentukan invers dari \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\).

Soal 3

Apakah matriks \(A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) punya invers?

Soal 4 (Aplikasi: menyelesaikan SPL dengan invers)

Selesaikan SPL menggunakan invers matriks:

📌 Minggu 6: Determinan

Apa itu Determinan?

Determinan adalah bilangan khusus yang dihitung dari matriks persegi. Disimbolkan \(\det(A)\) atau |A|.

Determinan sangat berguna untuk:

• Menentukan apakah matriks punya invers (det ≠ 0)
• Menentukan apakah SPL punya solusi tunggal
• Menghitung luas/volume dalam geometri

Determinan Matriks 2×2

Cara mengingat: (atas kiri × bawah kanan) MINUS (atas kanan × bawah kiri)

Determinan Matriks 3×3 (Metode Sarrus)

Untuk matriks 3×3, ada cara cepat yang disebut metode Sarrus:

Cara mudah melakukan Sarrus:

1. Tulis ulang kolom 1 dan 2 di sebelah kanan matriks
2. Jumlahkan hasil kali 3 diagonal ke kanan-bawah (↘)
3. Kurangkan hasil kali 3 diagonal ke kiri-bawah (↙)

Sifat-sifat Determinan

Contoh Soal & Pembahasan

Soal 1

Hitung determinan dari \(A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\).

Soal 2

Hitung determinan dari \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\).

Soal 3

Hitung determinan dari \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\).

Soal 4

Diketahui \(\det(A) = 3\) dan \(\det(B) = 4\) (keduanya matriks 2×2). Hitung \(\det(AB)\) dan \(\det(A^{-1})\).

Soal 5

Tentukan nilai x agar matriks \(A = \begin{bmatrix} x & 2 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}\) menjadi singular.

📌 Minggu 7: Review Materi & Soal Latihan UTS

Ringkasan Rumus Penting

Soal Latihan Gabungan

Soal 1

Selesaikan SPL berikut:

Soal 2

Hitung AB jika \(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}\) dan \(B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\).

Soal 3

Tentukan invers dari \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\).

Soal 4

Hitung determinan dari \(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\).

🎯 Soal Latihan UTS Bonus

Bonus Soal 1

Selesaikan SPL: \(\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

Bonus Soal 2

Jika \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\) dan \(B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\), hitung \((A+B)^2\).

Bonus Soal 3

Tentukan invers dari \(A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\).

Bonus Soal 4

Hitung determinan dari \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 10 \end{bmatrix}\).

⭐ Penjelasan Khusus: Solusi Parametrik pada SPL

Kapan SPL punya solusi tak hingga?

SPL punya solusi tak hingga ketika jumlah variabel lebih banyak daripada jumlah persamaan yang "berbeda".

Contoh sederhana:

Hanya ada 1 persamaan tapi 2 variabel (x dan y). Berapa pun nilai x, kita selalu bisa mencari y yang cocok:

• x = 0 → y = 3
• x = 1 → y = 2
• x = 5 → y = -2
• x = -10 → y = 13

Jawabannya tak terhingga banyaknya!

Apa itu Parameter (t atau s)?

Karena jawabannya banyak sekali, kita tidak mungkin menulis semuanya. Maka kita pakai parameter:

Huruf t di sini bisa diganti dengan angka berapa saja. Jadi:

Kalau t = 0 → (0, 3)
Kalau t = 1 → (1, 2)
Kalau t = 5 → (5, -2)

Kenapa harus pakai t?

Huruf t (atau s, atau huruf lain) hanyalah simbol untuk "angka bebas". Kita pakai huruf karena kita tidak tahu angka pastinya — yang penting semua kemungkinan bisa diwakili.

Contoh Soal yang Lebih Kompleks

Soal 1

Nyatakan solusi SPL berikut secara parametrik:

Soal 2

Nyatakan solusi SPL berikut secara parametrik:

Soal 3 (dengan 2 parameter / s dan t)

Nyatakan solusi SPL berikut secara parametrik:

Bagaimana Cara Menentukan Berapa Parameter yang Dipakai?

Contoh:

• Soal 1: 3 variabel (x, y, z), 2 persamaan → 3 - 2 = 1 parameter (t)
• Soal 3: 4 variabel (x, y, z, w), 1 persamaan → 4 - 1 = 3 parameter (s, t, u)

Ringkasan Singkat Parametrik

🧭 Minggu 8: Ruang Vektor Euclidean

Materi ini mengacu pada Bab 3 buku Anton & Rorres (Euclidean Vector Spaces).

Apa itu Vektor?

Vektor adalah besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah. Bayangkan anak panah: panjangnya menunjukkan besar, dan ujungnya menunjuk arah.

Secara aljabar, vektor ditulis sebagai daftar angka yang disebut komponen. Contohnya:

• Di 2 dimensi (2D): vektor ditulis \((x, y)\), misalnya \((3, 2)\) artinya bergerak 3 langkah ke kanan dan 2 langkah ke atas.
• Di 3 dimensi (3D): vektor ditulis \((x, y, z)\), misalnya \((3, -2, 1)\).

Operasi pada Vektor

Misalkan kita punya dua vektor \(\vec{u} = (u_1, u_2)\) dan \(\vec{v} = (v_1, v_2)\). Operasinya dilakukan dengan mengerjakan komponen yang sejajar (yang berpasangan):

• Penjumlahan: jumlahkan angka yang sejajar. \(\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1,\; u_2+v_2)\).
• Pengurangan: kurangkan angka yang sejajar. \(\vec{u} - \vec{v} = (u_1-v_1,\; u_2-v_2)\).
• Perkalian skalar: kalikan setiap komponen dengan angka \(k\). \(k\vec{u} = (k\,u_1,\; k\,u_2)\).

Contoh: jika \(\vec{u} = (1, 2)\) dan \(\vec{v} = (3, 4)\), maka \(\vec{u} + \vec{v} = (1+3,\; 2+4) = (4, 6)\), dan \(2\vec{u} = (2, 4)\).

Panjang (Norma) Vektor

Panjang vektor adalah jarak dari titik awal ke titik ujung vektor. Caranya dengan akar dari jumlah kuadrat semua komponennya (seperti rumus Pythagoras yang diperluas).

Untuk vektor \(\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\), panjangnya ditulis \(\lVert \vec{v} \rVert\) dan dihitung dengan:

Contoh: panjang vektor \((3, 4)\) = \(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).

Vektor yang panjangnya tepat 1 disebut vektor satuan. Untuk membuat vektor menjadi satuan, cukup bagi setiap komponen dengan panjang vektor tersebut.

Hasil Kali Titik (Dot Product)

Hasil kali titik adalah cara mengalikan dua vektor untuk mendapatkan sebuah angka (bukan vektor). Caranya: kalikan komponen yang sejajar, lalu jumlahkan semuanya.

Untuk dua vektor \(\vec{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)\) dan \(\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\), hasil kali titiknya adalah:

Contoh: \(\vec{u} = (2, -1, 3)\) dan \(\vec{v} = (4, 0, -2)\), maka \(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(4) + (-1)(0) + (3)(-2) = 8 + 0 - 6 = 2\).

Sifat penting hasil kali titik:

• Hasil kali titik juga bisa dihitung dari panjang kedua vektor dan sudut di antara keduanya: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \, \lVert \vec{v} \rVert \cos\theta\).
• Ortogonal (tegak lurus): jika hasil kali titik dua vektor = 0, maka kedua vektor saling tegak lurus membentuk sudut 90°.

Contoh Soal 1

Diketahui \(\vec{u} = (2, -1, 3)\) dan \(\vec{v} = (4, 0, -2)\). Hitung hasil kali titik \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) dan tentukan apakah keduanya ortogonal (tegak lurus).

Contoh Soal 2

Tentukan panjang vektor \(\vec{v} = (3, -4, 12)\) dan vektor satuannya.

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi adalah bayangan sebuah vektor pada arah vektor lain. Bayangkan cahaya menyinari vektor \(\vec{u}\) dari atas sehingga jatuh pada garis vektor \(\vec{v}\) — itulah proyeksi \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\).

Proyeksi vektor \(\vec{u}\) pada vektor \(\vec{v}\) (dengan syarat \(\vec{v}\) bukan vektor nol) dihitung dengan rumus:

Proyeksi ini berguna untuk memecah sebuah vektor menjadi dua komponen: satu sejajar dengan vektor lain, dan satu tegak lurus terhadapnya.

🔁 Minggu 9: Transformasi Linear

Materi ini mengacu pada Bab 4 & 8 buku Anton & Rorres (Linear Transformations).

Apa itu Transformasi Linear?

Transformasi linear adalah sebuah aturan atau fungsi yang mengambil sebuah vektor lalu mengubahnya menjadi vektor lain. Bayangkan seperti mesin: kamu memasukkan vektor, dan mesin mengeluarkan vektor hasil yang sudah diubah.

Agar disebut linear, fungsi tersebut harus memenuhi dua sifat penting untuk semua vektor \(\vec{u}, \vec{v}\) dan angka \(k\):

• Sifat 1 (aditivitas): \(T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})\). Artinya, mengubah dulu lalu menjumlahkan hasilnya, sama dengan menjumlahkan dulu lalu mengubah.
• Sifat 2 (homogenitas): \(T(k\vec{u}) = k\,T(\vec{u})\). Artinya, mengalikan vektor dengan angka lalu mengubahnya, sama dengan mengubah dulu lalu mengalikan hasilnya dengan angka tersebut.

Jika kedua sifat ini terpenuhi, maka fungsinya disebut transformasi linear.

Contoh Transformasi Linear

Beberapa contoh transformasi linear yang umum di 2 dimensi (2D):

• Refleksi (pencerminan) terhadap sumbu-x: \(T(x, y) = (x, -y)\). Artinya titik dicerminkan ke sisi bawah sumbu-x.
• Refleksi terhadap sumbu-y: \(T(x, y) = (-x, y)\).
• Refleksi terhadap garis y = x: \(T(x, y) = (y, x)\).
• Penskalaan (perbesaran/pengecilan): \(T(x, y) = (kx, ky)\). Semua koordinat dikalikan dengan angka \(k\).
• Rotasi (perputaran): memutar titik sebesar sudut tertentu (misalnya 90°) berlawanan arah jarum jam.

Matriks Standar Transformasi Linear

Kabar baiknya, setiap transformasi linear bisa ditulis sebagai perkalian matriks. Artinya, hasil transformasi dari vektor \(\vec{x}\) sama dengan matriks \(A\) dikali vektor \(\vec{x}\):

Cara menyusun matriks \(A\): kolom-kolom matriks \(A\) diisi dengan hasil transformasi dari vektor-vektor dasar (basis). Untuk 2D, vektor dasar adalah \(e_1 = (1,0)\) dan \(e_2 = (0,1)\).

Contoh: untuk refleksi terhadap sumbu-x, \(T(1,0) = (1,0)\) dan \(T(0,1) = (0,-1)\), sehingga matriksnya berisi kolom (1,0) dan (0,-1).

Contoh Soal 1

Tentukan matriks standar dari transformasi linear yang merefleksikan (mencerminkan) setiap titik terhadap sumbu-x.

Contoh Soal 2

Tentukan apakah \(T(x, y) = (x + 1, y)\) merupakan transformasi linear.

Kernel dan Jangkauan

• Kernel (inti): himpunan semua vektor \(\vec{x}\) yang hasil transformasinya adalah vektor nol. Artinya, vektor-vektor yang "dimusnahkan" oleh transformasi: \(T(\vec{x}) = \vec{0}\).
• Jangkauan (range): himpunan semua hasil transformasi yang mungkin, yaitu semua vektor yang bisa dihasilkan oleh transformasi tersebut.

Ukuran (dimensi) kernel disebut nullity, dan ukuran jangkauan disebut rank. Ada hubungan penting: \(\text{rank} + \text{nullity} = n\), dengan \(n\) adalah ukuran ruang asal (jumlah komponen vektor masuk).

💎 Minggu 10: Nilai Eigen & Vektor Eigen

Materi ini mengacu pada Bab 5 buku Anton & Rorres (Eigenvalues and Eigenvectors).

Definisi

Misalkan \(A\) adalah sebuah matriks persegi (jumlah baris sama dengan jumlah kolom).

Nilai eigen (eigenvalue) adalah sebuah angka istimewa (disebut \(\lambda\), dibaca "lambda") yang membuat persamaan berikut berlaku: matriks A dikali vektor x hasilnya sama dengan lambda dikali vektor x:

Dengan kata lain: ada beberapa vektor khusus yang ketika dikalikan dengan matriks A, arahnya tidak berubah — hanya panjangnya yang berubah (diperbesar atau diperkecil) oleh faktor \(\lambda\). Vektor khusus yang tidak berubah arah ini disebut vektor eigen (eigenvector).

Contoh analogi: bayangkan sebuah cermin. Beberapa garis yang sejajar dengan cermin tidak berubah arah saat dicerminkan — garis-garis itu seperti vektor eigen, dan faktor pengalinya adalah nilai eigen.

Bagaimana Menghitung Nilai Eigen?

Untuk mencari nilai eigen, kita ubah persamaan menjadi bentuk yang lebih mudah dihitung. Caranya:

• Langkah 1: Kurangkan \(\lambda\) dari setiap angka pada diagonal utama (dari kiri-atas ke kanan-bawah) matriks A. Hasilnya adalah matriks baru \(A - \lambda I\).
• Langkah 2: Hitung determinan (nilai khusus) dari matriks baru tersebut.
• Langkah 3: Samakan hasil determinan dengan nol. Persamaan yang didapat disebut persamaan karakteristik: \(\det(A - \lambda I) = 0\).
• Langkah 4: Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan nilai-nilai \(\lambda\) (nilai eigen).

Persamaan yang dihasilkan (berupa polinomial dalam \(\lambda\)) disebut polinomial karakteristik.

Contoh Soal 1

Tentukan nilai eigen dari matriks \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) (matriks 2×2).

Contoh Soal 2

Tentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan \(\lambda = 3\) dari matriks \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\).

Sifat-sifat Penting

• Jumlah semua nilai eigen (dengan menghitung pengulangannya) sama dengan jejak (trace) matriks, yaitu jumlah angka pada diagonal utama: \(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr}(A)\).
• Hasil kali semua nilai eigen sama dengan determinan matriks: \(\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = \det(A)\).
• Jika A adalah matriks segitiga (angka hanya di atas atau di bawah diagonal utama), maka nilai eigennya adalah angka-angka pada diagonal utamanya.
• Matriks A dan transposnya (\(A^T\), baris jadi kolom) memiliki nilai eigen yang sama.

Aplikasi Nilai Eigen

Nilai eigen dan vektor eigen digunakan dalam berbagai aplikasi penting, antara lain:

• Diagonalisasi matriks: menyederhanakan perhitungan pangkat matriks (\(A^k\)).
• Sistem persamaan diferensial: membantu menyelesaikan sistem persamaan yang melibatkan turunan.
• Analisis data (PCA): mereduksi dimensi data dalam machine learning.
• Stabilitas sistem: menentukan apakah sebuah sistem dinamis stabil atau tidak.

📐 Minggu 11: Ortogonalitas

Materi ini mengacu pada Bab 6 buku Anton & Rorres (Orthogonality and Least Squares).

Set Ortogonal & Ortonormal

Dua vektor ortogonal jika hasil kali titiknya nol: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \).

Sebuah himpunan vektor \( \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n \} \) disebut ortogonal jika setiap pasang vektor yang berbeda saling ortogonal.

Jika setiap vektornya juga memiliki norma 1 (vektor satuan), himpunan tersebut disebut ortonormal.

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi ortogonal vektor \(\vec{u}\) pada vektor \(\vec{v}\) (dengan \(\vec{v} \neq \vec{0}\)) adalah:

Komponen \(\vec{u}\) yang tegak lurus terhadap \(\vec{v}\) adalah:

Contoh Soal

Diketahui \(\vec{u} = (3, 1)\) dan \(\vec{v} = (2, 2)\). Tentukan proyeksi \(\vec{u}\) pada \(\vec{v}\).

Proses Gram-Schmidt

Proses Gram-Schmidt mengubah basis sebarang menjadi basis ortonormal. Diberikan basis \(\{ \vec{u}_1, \vec{u}_2, \ldots, \vec{u}_n \}\):

1. \(\vec{v}_1 = \vec{u}_1\)
2. \(\vec{v}_2 = \vec{u}_2 - \operatorname{proj}_{\vec{v}_1} \vec{u}_2\)
3. \(\vec{v}_3 = \vec{u}_3 - \operatorname{proj}_{\vec{v}_1} \vec{u}_3 - \operatorname{proj}_{\vec{v}_2} \vec{u}_3\)
4. … dan seterusnya

Terakhir, normalisasi setiap \(\vec{v}_i\) dengan membaginya dengan normanya: \(\hat{v}_i = \frac{\vec{v}_i}{\|\vec{v}_i\|}\).

Contoh Soal Gram-Schmidt

Terapkan Gram-Schmidt pada basis \(\{ \vec{u}_1 = (1, 1), \vec{u}_2 = (1, 0) \}\) di \(\mathbb{R}^2\).

✖️ Minggu 12: Hasil Kali Silang & Persamaan Garis

Materi ini mengacu pada Bab 3 buku Anton & Rorres (Euclidean Vector Spaces) — hasil kali silang dan garis/bidang dalam ruang.

Hasil Kali Silang (Cross Product)

Hasil kali silang dua vektor \(\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)\) dan \(\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)\) di \(\mathbb{R}^3\) adalah vektor yang tegak lurus terhadap keduanya:

Dapat dihitung dengan determinan:

Contoh Soal

Hitung \(\vec{u} \times \vec{v}\) untuk \(\vec{u} = (1, 2, 3)\) dan \(\vec{v} = (4, 5, 6)\).

Persamaan Garis dalam Ruang

Garis yang melalui titik \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) dengan vektor arah \(\vec{v} = (a, b, c)\):

Dalam bentuk parametrik:

Dalam bentuk simetris (jika \(a, b, c \neq 0\)):

Persamaan Bidang dalam Ruang

Bidang yang melalui titik \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) dengan vektor normal \(\vec{n} = (a, b, c)\):

Bentuk umum: \(ax + by + cz = d\).

Contoh Soal

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik \(P(1, 2, 3)\) dengan vektor normal \(\vec{n} = (2, -1, 4)\).

🔗 Minggu 13: Hasil Kali Dalam

Materi ini mengacu pada Bab 6 buku Anton & Rorres (Inner Product Spaces).

Definisi Hasil Kali Dalam

Hasil kali dalam pada ruang vektor \(V\) adalah fungsi yang memasangkan setiap pasang vektor \(\vec{u}, \vec{v} \in V\) dengan bilangan real \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\) yang memenuhi:

1. Simetris: \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle\)
2. Aditif: \(\langle \vec{u} + \vec{v}, \vec{w} \rangle = \langle \vec{u}, \vec{w} \rangle + \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle\)
3. Homogen: \(\langle k\vec{u}, \vec{v} \rangle = k\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\)
4. Positif: \(\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \geq 0\), dan \(\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0\) jika dan hanya jika \(\vec{v} = \vec{0}\)

Norma dan Jarak

Norma (panjang) vektor \(\vec{v}\) didefinisikan sebagai:

Jarak antara dua vektor \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\):

Sudut Antara Dua Vektor

Kosinus sudut \(\theta\) antara dua vektor tak-nol:

Dua vektor ortogonal jika \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0\), yaitu \(\theta = 90^\circ\).

Contoh Soal

Diketahui \(\vec{u} = (1, 2, 2)\) dan \(\vec{v} = (2, 1, 0)\). Hitung \(\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle\), \(\|\vec{u}\|\), dan \(\|\vec{v}\|\).

Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz

Untuk sebarang vektor \(\vec{u}, \vec{v}\) dalam ruang hasil kali dalam:

Kesetaraan terjadi jika dan hanya jika \(\vec{u}\) dan \(\vec{v}\) saling bergantung linear.

🔁 Minggu 14: Diagonalisasi Matriks

Materi ini mengacu pada Bab 5 buku Anton & Rorres (Diagonalization).

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya nol:

Definisi Diagonalisasi

Matriks persegi \(A\) berukuran \(n \times n\) dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks \(P\) yang dapat dibalik dan matriks diagonal \(D\) sehingga:

atau ekuivalen \(A = P D P^{-1}\).

Langkah-langkah Diagonalisasi

1. Tentukan nilai eigen dari \(A\) (dari \(\det(A - \lambda I) = 0\)).
2. Tentukan vektor eigen yang bebas linear untuk setiap nilai eigen.
3. Bentuk matriks \(P\) dengan kolom-kolom = vektor eigen.
4. Bentuk matriks diagonal \(D\) dengan diagonal = nilai eigen (sesuai urutan kolom P).
5. Verifikasi: \(P^{-1} A P = D\).

Contoh Soal

Didiagonalisasi matriks \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\).

Aplikasi: Pangkat Matriks

Jika \(A = P D P^{-1}\), maka pangkat ke-k dari \(A\) dapat dihitung dengan mudah:

Karena \(D\) diagonal, maka \(D^k\) hanya menaikkan pangkat setiap elemen diagonalnya.

Contoh Soal Pangkat

Hitung \(A^2\) untuk \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) menggunakan diagonalisasi.

🏁 Minggu 15: Review Materi & Soal Latihan UAS

Ringkasan menyeluruh seluruh materi Aljabar Linear untuk persiapan Ujian Akhir Semester (UAS).

Ringkasan Materi 3 Blok

Rumus Penting yang Harus Dihafal

1. Determinan 2×2: \(\det\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} = ad - bc\)
2. Invers 2×2: \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}\)
3. Metode Sarrus untuk determinan 3×3
4. Proyeksi ortogonal: \(\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\vec{v}\)
5. Hasil kali silang: \(\vec{u}\times\vec{v}\) (determinan 3×3)
6. Persamaan karakteristik: \(\det(A - \lambda I) = 0\)
7. Diagonalisasi: \(A = P D P^{-1}\), \(A^k = P D^k P^{-1}\)

Tips Mengerjakan Soal UAS

Soal Latihan Gabungan

Soal 1

Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss: \(x + 2y + z = 4\), \(2x + y - z = 1\), \(x - y + 2z = 3\).

Soal 2

Diketahui \(\vec{u} = (1, 0, -1)\) dan \(\vec{v} = (0, 1, 2)\). Hitung \(\vec{u} \times \vec{v}\).

Soal 3

Tentukan nilai eigen dari \(A = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\).

🎓 Minggu 16: Ujian Akhir Semester

Ujian Akhir Semester (UAS) Aljabar Linear — Close everything.

Kisi-kisi Materi UAS

Semoga sukses! 🎉📚